Asie, mai 2022

Les compagnies aériennes vendent plus de billets qu’il n’y a de places dans les avions, car certains passagers ne se présentent pas à l’embarquement du vol sur lequel ils ont réservé. On appelle cette pratique le surbooking.

Au vu des statistiques des vols précédents, la compagnie aérienne estime que chaque passager a 5 % de chance de ne pas se présenter à l’embarquement.

Considérons un vol dans un avion de 200 places pour lequel 206 billets ont été vendus. On suppose que la présence à l’embarquement de chaque passager est indépendante des autres passagers et on appelle `X`  la variable aléatoire qui compte le nombre de passagers se présentant à l’embarquement.

1. Justifier que  `X`  suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

2. En moyenne, combien de passagers vont-ils se présenter à l’embarquement ?

3. Calculer la probabilité que 201 passagers se présentent à l’embarquement. Le résultat sera arrondi à `10^(-3)` près.

4. Calculer \(P(X \leqslant 200)\) , le résultat sera arrondi à \(10^{-3}\) près. Interpréter ce résultat dans le contexte de l’exercice.

5. La compagnie aérienne vend chaque billet à 250 euros. Si plus de 200 passagers se présentent à l’embarquement, la compagnie doit rembourser le billet d’avion et payer une pénalité de 600 euros à chaque passager lésé. On appelle :

• \(Y\)  la variable aléatoire égale au nombre de passagers qui ne peuvent pas embarquer bien qu’ayant acheté un billet ;
  
• \(C\)  la variable aléatoire qui totalise le chiffre d’affaires de la compagnie aérienne sur ce vol.
  

On admet que  \(Y\) suit l a loi de probabilité donnée par le tableau suivant :

\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline y_i & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline P(Y=y_i) & 0,94775 & 0,3063 & 0,01441 & 0,00539 & 0,00151 & 0,00028 & \dots \\\hline \end{array}\)

    a. Compléter la loi de probabilité donnée ci-dessus en calculant  \(P(Y=6)\) .
    b. Donner la loi de probabilité de la variable aléatoire  \(C\)  sous forme d’un tableau. Calculer l’espérance de la variable aléatoire  \(C\)  à l’euro près.
    c. Comparer le chiffre d’affaires obtenu en vendant exactement 200 billets et le chiffre d’affaires moyen obtenu en pratiquant le surbooking.